Matemáticas y ciencias sociales

Jan Poliansky

En el número 4 de Debate Marxista, R. Astarita publicó un trabajo de alto nivel sobre la crisis Acumulación y crisis, tendencias actuales del capitalismo. En particular, en el Apéndice 1 da una explicación marxista de la Ley de la tendencia decreciente de la tasa de ganancia (LTDTG) basándose en la tendencia al aumento de la composición orgánica del capital (COC). Sin embargo esta explicación tiene un punto flojo. Respondiendo a la crítica de Sweezy, dice que

se puede responder demostrando que, aun suponiendo una tasa de plusvalía máxima "los obreros vivirían del aire" si la COC tiene tendencia a crecer finalmente la tasa de ganancia descenderá.1

La "demostración" tiene lugar en el Apéndice donde, siguiendo el desarrollo de A. Emmanuel en La ganancia y las crisis se exponen las fórmulas de la tasa de ganancia

donde g' es la tasa de ganancia, pl la plusvalía, c el capital constante y v el capital variable. El cociente c/(v+pl) es una forma de expresar la COC.

La idea de la "demostración matemática" es que el numerador nunca será mayor que 1 mientras que al crecer el COC el denominador puede crecer sin límites y por lo tanto g' tender a cero.

En ciencias formales (en este caso la matemática), para probar la falsedad de una "demostración" alcanza con dar un contraejemplo. Eso haremos ahora:

Consideramos a g', pl, c, v y COC como funciones del tiempo, es decir que, por ejemplo g'(1) será la tasa de ganancia el primer año, pl(3) la plusvalía el tercero, etc.

es decir que la tasa de ganancia se mantiene constante y

COC(n) = c(n)/(v(n)+pl(n)) = (1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/n2)/2.

Tenemos entonces que c, pl y COC crecen todo el tiempo, v decrece pero nunca llega a cero (los obreros no viven del aire) y la LTDTG no se verifica. Y estas fórmulas son válidas para todo número n, es decir que aunque el capitalismo dure por toda la eternidad la tasa de ganancia se mantendría estable.

A la objeción de que el trabajo vivo (v+pl) se mantiene constante (siempre igual a 2), lo que no es realista, se la puede responder corrigiendo levemente el modelo: fijamos la tasa de crecimiento anual t > 0, multiplicamos entonces c(n), pl(n) y v(n) por (1+t)n, con lo que la economía crece de forma continua pero, como multiplicamos numerador y denominador por la misma cantidad el resultado final g'(n) = 1/2 no varía.

El lector podría preguntarse si acabamos de demostrar la falsedad de la LTDTG. La respuesta es que acabamos de demostrar la falsedad de su "demostración" matemática.

Las demostraciones en marxismo

En el mismo Apéndice 1 del trabajo mencionado, a propósito de la tendencia al crecimiento de la COC, Astarita dice que

Desde el punto de vista matemático es estrictamente cierto que nada puede demostrar una tendencia de la COC a medida que progresa la acumulación capitalista.

El resto del Apéndice está dedicado a demostrar, usando la teoría marxista, como a partir de la contradicción entre el capital (trabajo muerto) y el trabajo vivo que se manifiesta en la lucha de clases, el capitalista se ve forzado a aumentar la COC. Paralelamente se refiere a trabajos donde se prueba empíricamente la tendencia al crecimiento de la COC. No creo que la LTDTG y la ley de la tendencia al crecimiento de la COC sean de un nivel esencialmente distinto: una puramente formal y la otra anclada profundamente en el funcionamiento material del sistema capitalista.

En la primera parte del Apéndice se da una explicación marxista, aunque parcial, de la LTDTG y en el cuerpo principal del artículo se mencionan los trabajos de Goux, Moseley y Nordhaus donde aparecen datos empíricos en el sentido de la LTDTG. Estamos entonces en el mismo tipo de explicación de una ley de la sociedad capitalista que en el caso de la COC y no hay necesidad alguna de suplementarla con supuestas pruebas matemáticas.

El investigador marxista tampoco debe quedarse con el convencimiento de que esas leyes son inmutables sino que, por un lado debe seguir estudiando los datos empíricos y comprender cómo éstos expresan, de una manera mediada, las contradicciones profundas del sistema.

En su Apéndice 2 Astarita cayó en una tentación tramposa que ofrecen las matemáticas, tentación en la que cayeron no pocos marxistas (el mencionado Emmanuel, Morishima y, hasta cierto punto, el propio Marx ). Se trata de formalizar, de hacer más comprensible a los lectores no acostumbrados a los razonamientos dialécticos, pero también de hacer respetable ante los ojos de los académicos, de los teóricos burgueses, un aspecto de una ciencia que es la base teórica de la revolución. Es claro que no importa la cantidad de fórmulas y teoremas que se incluyan, el marxismo no será nunca aceptado (salvo en una versión aguada que haya perdido su núcleo) por los teóricos burgueses. Por otro lado, el tratar de vulgarizar la dialéctica lleva sólo a hacer creer que la dialéctica es su vulgarización. Por más que sea duro, si se quiere que las masas entiendan qué significa y por qué se da la TDTDG, no hay más remedio que explicarla pacientemente y mostrarles cómo ésta está profundamente ligada con su experiencia de todos los días en el lugar de trabajo.

Matemáticas y esencialismo

Si nos ponemos a hojear alguna revista académica de economía o sociología, podemos llegar a creer que se trata de una revista de matemáticas dada la cantidad de fórmulas y teoremas que encontramos en sus páginas.

Un fenómeno que comenzó durante la segunda mitad del siglo pasado pero que se ha acentuado en las últimas décadas es el intento de formalización de muchas ciencias humanas, siendo la economía el máximo exponente de esta tendencia. Esta matematización consiste básicamente en tomar los aspectos que se creen esenciales del fenómeno o proceso a estudiar y tratar de reproducirlo por medio de modelos matemáticos, es decir mediante funciones y relaciones que se comporten aproximadamente como esos aspectos simplificados de la realidad. Luego se intentan incorporar más detalles, agregando parámetros y variables, tratando de refinar el modelo, para que se aproxime lo más posible a la realidad.

Para un enfoque positivista, es decir un enfoque para el cual no existe otra realidad que el propio fenómeno y para el que la tarea del científico no es explicar sino descubrir las leyes fenomenales y formular previsiones 2 , esa formalización sería perfectamente válida. En ciencias naturales, en particular en física, química y, en menor medida en meteorología y ciencias de la tierra, para la mayor parte de las aplicaciones prácticas, los modelos matemáticos construídos por los científicos son adecuados para poder preveer y actuar en consecuencia. El poseer un modelo matemático que refleje aproximadamente un fenómeno no es una explicación del mismo pero puede ayudar a buscarla.

El pretender que la modelización matemática es la explicación, es caer en el error opuesto al de los positivistas. Es caer en el idealismo, es suponer que existe un espíritu absoluto o un Dios muy versado en matemáticas quien, luego de inventar las leyes matemáticas fabrica un mundo que las cumpla.

En ciencias sociales la situación es mucho más grave dada la mayor complejidad de los procesos y fenómenos a estudiar y, sobre todo, debido a la variable humana que aparece en ellos. Mirando los modelos matemáticos que se han construído para reproducir ciertos fenómenos de interacción social o de movimiento económico, podemos ver que el nivel de abstracción es tal que lo que se modela ya no tiene nada que ver con la realidad. Como un ejemplo reciente, en el número de noviembre de 1994 de la revista de divulgación científica Scientific American, salió una nota sobre un equipo del Santa Fe Institute (EEUU) que pretende modelar por computadora la interacción entre dos comunidades humanas. Los elementos que retienen los investigadores son que los individuos se mueven al azar por el paisaje, que si se encuentran dos de sexos diferentes se reproducen, que tratan de comer si hace mucho que no lo hacen y -si ya están satisfechos- de acopiar comida, finalmente que hay variantes en las capacidades físicas que son hereditarias. Ciertamente que los elementos tomados corresponden aproximadamente a lo esperado. Pero el suponerlos los elementos determinantes, la base del modelo, es hacer una petición de principio. De todos modos, según sus propios creadores, ese modelo finalmente no pretende ser capaz de estudiar comunidades realmente existentes, por lo que finalmente no pasa del nivel de un juego intelectual. Otro ejemplo más grave es el modelo conocido como "Los límites del crecimiento" producido por el llamado Club de Roma a principios de los años '70. Allí se preveía que en un par de décadas el mundo se iba a quedar sin recursos para seguir creciendo. Este trabajo dio pie a multitud de estudios similares en todo el mundo 3 donde se "demostraba" lo mismo, todo lo contrario o cualquier cosa intermedia. La incapacidad de siquiera aproximarse a la realidad hizo que esos modelos pasaran de moda.

Donde estos métodos no sólo no han pasado de moda sino que son necesarios para obtener el Premio Nobel, es en economía. Por ejemplo los laureados de 1994, Harsanyi, Nash y Selten, son tres especialistas en teoría de juegos, una disciplina puramente matemática que se considera una herramienta fundamental para explicar la economía. Vale la pena citar en extenso una parte del artículo aparecido en la revista de divulgación científica La Recherche de diciembre de 1994 donde se expone el fundamento de la atribución del premio a esos dos economistas.

Nash, de la universidad de Princeton, [ ...] redescubre la solución en 1950 y la reformula en el cuadro de los juegos abstractos, es decir sin referencia a los problemas de los economistas. Demuestra igualmente un teorema remarcable de existencia de esta solución para ciertos juegos. Ese teorema tuvo muy pronto un impacto considerable; permitió a K. Arrow y G. Debreu (ambos premios Nobel de economía, en 1972 y 1983 respectivamente) de dar, en 1954, la primera demostración de la existencia del concepto de equilibrio general en el modelo de Walras. [...] Aquí intervienen Harsanyi, de la universidad de California y Selten, de la universidad de Bonn. Ellos explotan el hecho que los juegos se desarrollan en el tiempo (su naturaleza dinámica) y en un universo donde la información dista de ser perfecta.

Y, a propósito de Walras citamos el comentario de L. Pasinetti en Leçons sur la théorie de la production:

... para Walras, como para los otros marginalistas, los dos pilares fundamentales del análisis son las funciones de utilidad de los consumidores por un lado y el dato exógeno de la cantidad de recursos por el otro. El fenómeno productivo se inserta entre los dos extremos, como proceso de transformación puramente intermediario y, en última instancia, insignificante, que complica un poco el modelo teórico original sin alterar, sin embargo, los fundamentos.

Vemos entonces cómo los modelos matemáticos de la economía suponen un mundo donde la producción no tiene mayor importancia, la lucha de clases no existe y los agentes económicos son asimilados a jugadores de truco 4. A quien pretenda que estos modelos no tienen aplicación práctica y no sirven para preveer nada, le respondemos que sirven para mistificar la realidad, pasar el mensaje de un proceso económico sin contradicciones sociales, donde todo se explica por un mercado donde los individuos entran puros e iguales y, a nivel personal de los "científicos" que los producen, para ganar el premio Nobel.

Insistimos que, aunque los modelos tomen en cuenta la lucha de clases y los modelistas sean revolucionarios o se digan marxistas 5, el pretender explicar los procesos sociales (o aspectos de ellos) por medio de fórmulas o desarrollos matemáticos es suponer que existe un orden preestablecido, atemporal, un universo platónico de las ideas o, alternativamente, el milagro de que los procesos producidos por las contradicciones sociales en el mundo real puedan producir efectos representables por un par de fórmulas matemáticas.

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NOTAS

Nota 1

Marx insinuó varias veces su intención de matematizar El Capital. Durante los últimos años de su vida comenzó un estudio serio de las matemáticas. No sólo fue por falta de tiempo que no pudo hacerlo, sino que es imposible si se trata de ser fiel al materialismo dialéctico, lo que argumentamos en el resto de este artículo.

Nota 2

La economía (burguesa) neoclásica actual es un ejemplo de este enfoque. Por ejemplo en el número del 24/12/94 de The Economist, se cita a Milton Friedman diciendo, a propó÷sito de los modelos eeconómicos neoclásicos que "lo que importa no es cuán precisamente los modelos econmómicos reflejan la manera en que la gente toma sus decisiones, sino si el modelo funciona."

Como ejemplos de enfoques no positivistas podemos dar al marxismo, el que no se contenta con estudiar la ganancia del capitalista (el fenómeno) sino que descubre la plusvalía y estudia las contradicciones profundas del sistema capitalista que se manifiestan en las crisis (de nuevo terreno de estudio del positivista). Tampoco el psicoanálisis se contenta con estudiar los fenómenos (por ejemplo sueöos o actos fallidos) sino que, a diferencia de los conductistas, estudia los procesos inconcientes, no accesibles directamente.

Nota 3

En Argentina fue la Fundación Bariloche la que produjo un modelo del género.

Nota 4

Es interesante que el propio The Economist, quien no ahorra elogios a las teorías económicas neoclásicas tenga que aceptar que sus modelos tienen poco que ver con la realidad.

Lo que hace la gente, individual y colectivamente, es fácil de predecir -especialmente con una computadora suficientemente grande. El problema es que esos modelos demasiado simples demasiado a menudo fallan. [...] las fórmulas no describen lo que sucede en el mundo real.

Nota 5

Nos referimos especialmente al marxismo analítico, cuyos principales exponentes son Gerry Cohen, Jon Elster y John Roemer.